Solución Total
dx/dt+9x=2f(t)...(1)
Para este tipo de resultado tomaremos las condiciones
f(t)=e2t & x(0)=2
Como f(t)=4e2t
Al substituir f(t) en la ecuacion (1) queda asi:
dx/dt+9x=2(4e2t)
dx/dt+9x=8e2t...(2)
Aplicamos la Transformada de Laplace a nuestra ecuacion (2):
Es decir :
L{dx/dt}+9 L{x}+ 8 L{e2t}
Lo que nos dara por resultado:
sx(s)-x(0)+9x(s)=8(1/s-2)
Como una de las condiciones nos dice que x(0)=2
La euacion , al insertar la condicion queda.
sx(s)-2+9x(s)=8(1/s-2)...(3)
Despejando, hacia el lado derecho de la EQ
sx(s)+9x(s)=8(1/s-2)-2
Factorizando y operando
x(s)(s+9)=(8/s-2)-2
x(s)(s+9)=2s+4/s-2
despejando x(s)
x(s)=2s+4/(s-2)(s+9)...(4)
Tendremos que resolver la ecuacion 4 por fracciones parciales, ya que no se cuenta con una formula directa para su resolucion.
Aplicando fracciones parciales:
Gracias a que el denominador es un producto de dos binomios, se sabe que el numero de elemento para ecuaciones parciales seran 2, de alli quedara de la siguiente forma.
2s+4/(s-2)(s+9)=A/(s+9)+B/(s-2)...(5)
Si multiplicamos los dos terminos por (s-2)(s+9)
nuestra Ecuacion queda 5 queda asi:
2s+4=A(s-2)+B(s+9)
Multiplicando el lado derecho
2s+4=As-2A+Bs+9B
Ordenando:
Para 2s corresponden As y Bs
Para 4 corresponde -2A y 9B
Lo que determina el siguiente sistema de Ecuaciones
A+B=2...(a)
-2A+9B=4...(b)
De a sabemos que A=2-B
Por lo que -2(2-B)+9B=4
-4+2B+9B=4
De alli 11B=8
Por lo que B=8/11
Al substituir el valor de B en la Ecuacion a
tenemos A=2-8/11
por lo tanto A=14/11
Como sabemos que
x(s)=2s+4/(s-2)(s+9)= A/(s+9)+B/(s-2)
x(s)=14/11(1/s+9)+8/11(1/s-2)...(6)
Si aplicamos a 6 L-1
x(t)= 14/11e-4t+8/11e2t
La Ecuación Superior Es El Resultado Total