Solución Forzada

dx/dt+9x=2f(t)...(1)

Para este tipo de resultado tomaremos las condiciones

f(t)=e^2t & x(0)=2

Como f(t)=4e^2t

Al substituir f(t) en la ecuacion (1) queda asi:

dx/dt+9x=2(4e^2t)

dx/dt+9x=8e^2t...(2)

Aplicamos la Transformada de Laplace a nuestra ecuacion (2):

Es decir :

L{dx/dt}+9 L{x}+ 8 L{e^2t}

Lo que nos dara por resultado:

sx(s)-x(0)+9x(s)=8(1/s-2)

operando

sx(s)+9x(s)=8/s-2

Factorizando

x(s)(s+9)=8/s-2

Despejando x(s)

x(s)=8/(s-2)(s+9)

No existe una Formula directa, por lo que se resolvera por fracciones parciales

Ordenando

8/(s-2)(s+9)=A/(s+9)+B/(s-2)...(5)

Si multiplicamos los dos terminos por (s-2)(s+9)

nuestra Ecuacion queda 5 queda asi:

8=A(s-2)+B(s+9)

Multiplicando el lado derecho

8=As-2A+Bs+9B

Para 0 corresponden As y Bs

Lo que determina el siguiente sistema de Ecuaciones

A+B=0...(a)

-2A+9B=8...(b)

De a sabemos que A=0-B

Por lo que -2(0-B)+9B=8

2B+9B=8

De alli 11B=8

Por lo que B=8/11

Como A=-B

A=-8/11

Como sabemos que

x(s)=8/(s-2)(s+9))= A/(s+9)+B/(s-2)

x(s)=-8/11(1/s+9)+8/11(1/s-2)...(6)

Si aplicamos a 6 L^-1

La Ecuación Superior Es El Resultado Forzado